第12章 多元微分学

例 1 考察函数 $$ f\left( {x,y}\right) = \left\{ \begin{array}{ll} {xy}\frac{{x}^{2} - {y}^{2}}{{x}^{2} + {y}^{2}}, & \text{ 如果 }\left( {x,y}\right) \neq \left( {0,0}\right) , \\ 0, & \text{ 如果 }\left( {x,y}\right) = \left( {0,0}\right) . \end{array}\right. $$ 我们来比较 ${f}_{xy}\left( {0,0}\right)$ 与 ${f}_{yx}\left( {0,0}\right)$ . 为此,先要做一些计算. 对于 $y \neq 0$ 的情形,要计算 ${f}_{x}\left( {0,y}\right)$ ,可以利用表示式 $$ f\left( {x,y}\right) = {xy}\frac{{x}^{2} - {y}^{2}}{{x}^{2} + {y}^{2}}. $$ 将这式对 $x$ 求导,然后再令 $x = 0$ ,就得到 $$ {f}_{x}\left( {0,y}\right) = - y\;\left( {y \neq 0}\right) . $$ 为了计算 ${f}_{x}\left( {0,0}\right)$ ,需要直接利用偏导数的定义: $$ {f}_{x}\left( {0,0}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0}}\frac{f\left( {h,0}\right) - f\left( {0,0}\right) }{h} = 0. $$ 这样, 我们求得 $$ {f}_{x}\left( {0,y}\right) = \left\{ \begin{array}{ll} - y, & \text{ 如果 }y \neq 0. \\ 0, & \text{ 如果 }y = 0; \end{array}\right. $$ 用类似的办法可得 $$ {f}_{y}\left( {x,0}\right) = \left\{ \begin{array}{ll} x, & \text{ 如果 }x \neq 0, \\ 0, & \text{ 如果 }x = 0. \end{array}\right. $$ 在此基础上, 可进一步求出: $$ {f}_{xy}\left( {0,0}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow 0}}\frac{{f}_{x}\left( {0,k}\right) - {f}_{x}\left( {0,0}\right) }{k} = - 1, $$ $$ {f}_{yx}\left( {0,0}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0}}\frac{{f}_{y}\left( {h,0}\right) - {f}_{y}\left( {0,0}\right) }{h} = 1. $$ 我们看到: $$ {f}_{xy}\left( {0,0}\right) \neq {f}_{yx}\left( {0,0}\right) . $$ 但只要两个二阶混合偏导数都连续, 就不会出现上例中的情形. 定理 1 如果函数 $f\left( {x,y}\right)$ 的两个二阶混合偏导数 ${f}_{xy}\left( {x,y}\right)$ 和 ${f}_{yx}\left( {x,y}\right)$ 在点 $\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)$ 邻近存在并且在点 $\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)$ 连续,那么就有 $$ {f}_{xy}\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) = {f}_{yx}\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) . $$

例 2 试求复合函数 $$ u = f\left( {x\left( {\xi ,\eta }\right) ,y\left( {\xi ,\eta }\right) }\right) $$ 的二阶偏导数. 这里假设 $x\left( {\xi ,\eta }\right) ,y\left( {\xi ,\eta }\right)$ 和 $f\left( {x,y}\right)$ 都是二阶连续可微函数.

例 3 二维拉普拉斯 (Laplace) 算子 $\Delta$ 定义如下: $$ {\Delta u} = \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}^{2}} + \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {y}^{2}}. $$ 试对 $u = \ln \frac{1}{r}\left( {r > 0}\right)$ 计算 ${\Delta u}$ ,这里 $r = \sqrt{{x}^{2} + {y}^{2}}$ .

例 4 三维拉普拉斯算子 $\Delta$ 定义如下: $$ {\Delta u} = \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}^{2}} + \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {y}^{2}} + \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {z}^{2}}. $$ 试对 $u = \frac{1}{r}\left( {r \neq 0}\right)$ 计算 ${\Delta u}$ ,这里 $r = \sqrt{{x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2}}$ .

例 5 设 $f\left( {x,y}\right)$ 是 $n$ 阶连续可微函数,并设 $$ \varphi \left( t\right) = f\left( {x + {th},y + {tk}}\right) . $$ 试计算函数 $\varphi \left( t\right)$ 的 $n$ 阶导数 ${\varphi }^{\left( n\right) }\left( t\right)$ .

例 6 对于更一般的 $m$ 元函数,考虑与上例类似的问题: 设 $f\left( x\right) = f\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{m}}\right)$ 是 $n$ 阶连续可微的函数,记 $$ \varphi \left( t\right) = f\left( {x + {th}}\right) $$ $$ = f\left( {{x}_{1} + t{h}_{1},{x}_{2} + t{h}_{2},\cdots ,{x}_{m} + t{h}_{m}}\right) . $$ 试计算 ${\varphi }^{\left( n\right) }\left( t\right)$ .

例 6 中, 我们求得 $$ {\varphi }^{\left( k\right) }\left( t\right) = {\left( {h}_{1}\frac{\partial }{\partial {x}_{1}} + \cdots + {h}_{m}\frac{\partial }{\partial {x}_{m}}\right) }^{k}f\left( {a + {th}}\right) . $$ 利用这计算结果, 就得到多元函数的泰勒公式 $$ f\left( {a + h}\right) = {T}_{n} + {R}_{n + 1}, $$ 这里 $$ {T}_{n} = \mathop{\sum }\limits_{{p = 0}}^{n}\frac{1}{p!}{\left( \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{m}{h}_{i}\frac{\partial }{\partial {x}_{i}}\right) }^{p}f\left( a\right) , $$ 而余项 ${R}_{n + 1}$ 可以表示为 $$ {R}_{n + 1} = \frac{1}{\left( {n + 1}\right) !}{\left( \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{m}{h}_{i}\frac{\partial }{\partial {x}_{i}}\right) }^{n + 1}f\left( {a + {\theta h}}\right) $$ $$ \left( {0 < \theta < 1}\right) \text{ , } $$ 或者 $$ {R}_{n + 1} = \frac{1}{n!}{\int }_{0}^{1}{\left( 1 - t\right) }^{n}{\left( \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{m}{h}_{i}\frac{\partial }{\partial {x}_{i}}\right) }^{n + 1}f\left( {a + {th}}\right) \mathrm{d}t. $$ 定理 5 设函数 $f\left( x\right) = f\left( {{x}_{1},\cdots ,{x}_{m}}\right)$ 在点 $a = \left( {{a}_{1},\cdots ,{a}_{m}}\right)$ 邻近 $n$ 阶连续可微,则有 $$ f\left( {a + h}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{p = 0}}^{n}\frac{1}{p!}{\left( \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{m}{h}_{i}\frac{\partial }{\partial {x}_{i}}\right) }^{p}f\left( a\right) + o\left( {\parallel h{\parallel }^{n}}\right) . $$ 这样的表示式被称为带小 $o$ 余项 (或佩亚诺型余项) 的泰勒公式.

例 1 由条件 $$ {x}^{2} + {y}^{2} = 1,\;x \in \left\lbrack {-1,1}\right\rbrack ,y \in \lbrack 0, + \infty ), $$ 确定了一个从 $\left\lbrack {-1,1}\right\rbrack$ 到 $\lbrack 0, + \infty )$ 的隐函数. 这隐函数可以用显式表示为 $$ y = \sqrt{1 - {x}^{2}},\;x \in \left\lbrack {-1,1}\right\rbrack . $$ 由条件 $$ {x}^{2} + {y}^{2} = 1,\;x \in \left\lbrack {-1,1}\right\rbrack ,y \in ( - \infty ,0\rbrack , $$ 确定了另一个隐函数, 这隐函数可以用显式表示为 $$ y = - \sqrt{1 - {x}^{2}},\;x \in \left\lbrack {-1,1}\right\rbrack . $$ 从上面的例子可以看出, 要由方程 $$ F\left( {x,y}\right) = 0 $$ 确定一个隐函数,仅仅指出 $x$ 的变化范围 $D$ 是不够的,还需要指出 $y$ 的变化范围 $E$ . 如果方程 $F\left( {x,y}\right) = 0$ 完全没有解 （例如 $F\left( {x,y}\right) = {x}^{2} + {y}^{2} + 1$ 的情形）,那么当然谈不上定义隐函数的问题. 假设 $F\left( {x,y}\right) = 0$ 有解 $\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)$ ,函数 $F$ 在点 $\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)$ 邻近是连续可微的. 我们在点 $\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)$ 邻近展开函数 $F$ 得到 $$ F\left( {x,y}\right) = \frac{\partial F}{\partial x}\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) \left( {x - {x}_{0}}\right) + \frac{\partial F}{\partial y}\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) \left( {y - {y}_{0}}\right) $$ $$ + o\left( \sqrt{{\left( x - {x}_{0}\right) }^{2} + {\left( y - {y}_{0}\right) }^{2}}\right) \text{ . } $$ 代替原来的方程 $$ F\left( {x,y}\right) = 0, $$ 我们来考察近似方程 $$ \frac{\partial F}{\partial x}\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) \left( {x - {x}_{0}}\right) + \frac{\partial F}{\partial y}\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) \left( {y - {y}_{0}}\right) = 0. $$ 要使这近似方程对每一给定的 $x$ 都确定唯一的 $y$ ,必须而且只须 $$ \frac{\partial F}{\partial y}\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) \neq 0. $$ 从观察近似方程得到启发,人们探索能保证原来的方程 $F\left( {x,y}\right) = 0$ 在 $\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)$ 邻近确定隐函数的条件. 所得的结果可以陈述为以下的隐函数定理. 定理 1 设函数 $F\left( {x,y}\right)$ 在包含 $\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)$ 的一个开集 $\Omega$ 上连续可微,并且满足条件 $$ F\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) = 0,\;\frac{\partial F}{\partial y}\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) \neq 0, $$ 则存在以 $\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)$ 为中心的开方块 $$ D \times E \subset \Omega $$ $$ \left( {D = \left( {{x}_{0} - \delta ,{x}_{0} + \delta }\right) ,E = \left( {{y}_{0} - \eta ,{y}_{0} + \eta }\right) }\right) , $$ 使得: (1)对任何一个 $x \in D$ ,恰好存在唯一的一个 $y \in E$ ,满足方程 $$ F\left( {x,y}\right) = 0. $$ 这就是说,方程 $F\left( {x,y}\right) = 0$ 确定了一个从 $D$ 到 $E$ 的函数 $y = f\left( x\right)$ . (2)这函数 $y = f\left( x\right)$ 在 $D$ 连续可微,它的导数可按下式计算 $$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x} = - \frac{\frac{\partial F}{\partial x}\left( {x,y}\right) }{\frac{\partial F}{\partial y}\left( {x,y}\right) }. $$

例 2 在周长等于给定常数 ${2p}$ 的三角形当中,什么样的三角形面积最大?

例 3 总和等于常数 $C\left( {C > 0}\right)$ 的 $n$ 个非负实数,它们的乘积 $P$ 最大为多少?